D63 Messung räumlicher Korrelationen

Thema

Diese Messung der räumlichen Korrelationen innerhalb dieses Schwarms quantifiziert allgemein, inwieweit das Verhalten eines Individuums innerhalb dieses Schwarms das Verhalten seiner Nachbarn vorhersagt, sowohl hinsichtlich der Entfernung als auch der zwischen ihnen verstrichenen Zeit.

Diese finale Geschwindigkeitskorrelationsfunktion des Schwarms stellt jedoch das ultimative beobachtbare Maß dieser gesamten Analyse dar: Erreicht diese Funktion ihren Maximalwert selbst bei einer Entfernung, die deutlich größer ist als der Abstand zwischen den Individuen im Schwarm, so weist der Schwarm dieselbe Fernkorrelation auf, die in einem anderen Modell dieses Ensembles ermittelt wurde.

Innerhalb eines bestimmten kritischen Schwarms, nahe diesem Vicsek-Phasenübergang, klingt diese Geschwindigkeitskorrelationsfunktion gemäß einem spezifischen Potenzgesetz anstatt exponentiell ab, wobei die in einem anderen Modell dieses Ensembles ermittelte Korrelationslänge folglich unbegrenzt anwächst. Nähert sich dieser Schwarm diesem Vicsek-Phasenübergang, wächst die finale Korrelationslänge des Schwarms weiter und zeigt somit unbegrenztes Wachstum.

Diese Strukturfunktion des Schwarms ist jedoch komplementär zur eingangs erwähnten Geschwindigkeitskorrelationsfunktion: Sie beschreibt, wie die finale Geschwindigkeitsdifferenz zwischen zwei Individuen des Schwarms mit deren Abstand variiert. Die Skalierung dieser Differenz mit dem Abstand offenbart somit das finale Turbulenz- oder Korrelationsregime des gesamten Schwarms. Das finale Energiespektrum des Schwarms innerhalb seines spezifischen Frequenzraums stellt wiederum das finale Analogon zum Kolmogorovschen Turbulenzspektrum dar: Dieser aktive Schwarm kann daher außerhalb des Gleichgewichts einen charakteristischen Exponenten aufweisen, der sich deutlich vom Exponenten der klassischen Turbulenz unterscheidet.

Die finale Suszeptibilität des Schwarms stellt wiederum das finale Analogon zur spezifischen Wärme innerhalb eines statistischen Mechanismus dar: Die finale Divergenz der Suszeptibilität weist somit auf die Nähe zum kritischen Punkt hin, der bereits in einem anderen Modell dieser Gruppe auf Basis einer starken Fluktuation der Individuenzahl ermittelt wurde. Dass sich dieser Schwarm diesem kritischen Punkt noch weiter annähert, bedeutet, dass seine endgültige Anfälligkeit folglich noch stärker abweicht.

Daher ermöglicht dieses Modell, das das Verhalten eines Nachbarn anhand einer gegebenen Distanz und eines gegebenen Zeitraums vorhersagt, die Bestimmung der endgültigen Verweildauer der Richtung jedes Individuums innerhalb des Schwarms – abgeleitet aus seiner spezifischen zeitlichen Autokorrelation –, zwischen einer zufälligen Bewegung mit einer sehr kurzen Verweildauer und einer gerichteten Bewegung mit einer sehr langen Verweildauer. Die Tatsache, dass diese endgültige Verweildauer der Richtung eines Individuums innerhalb des Schwarms noch länger ist, bedeutet, dass die endgültige Vorhersage des Verhaltens dieses Individuums über denselben Zeitraum, mit dem das Modell ursprünglich formuliert wurde, noch genauer ist.

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