E14 Messung, Auflösung und physikalische Grenzen

Thema

Die Auflösung jedes physikalischen Sensors, ob biologisch oder künstlich, ist durch fundamentale physikalische Gesetze begrenzt und nicht nur durch die verwendete Technologie. Das Rayleigh-Kriterium definiert daher die minimale Winkelauflösung, die ein optischer Sensor in Abhängigkeit von seiner Aperturgröße und der Wellenlänge des einfallenden Lichts erreichen kann. Gemäß diesem Kriterium erreicht das menschliche Auge eine minimale Winkelauflösung, die nahezu dem tatsächlichen Abstand der Zapfen in seiner Fovea entspricht. Dies zeigt, dass die Biologie des menschlichen Auges diese fundamentale physikalische Grenze praktisch bereits erreicht hat. Eine größere Apertur oder eine kürzere Wellenlänge des Lichts in einem optischen Sensor verbessert gemäß dem Rayleigh-Kriterium dessen minimale Winkelauflösung.

Das Nyquist-Theorem besagt, dass die genaue Abtastung eines Signals bei einer gegebenen maximalen Frequenz mindestens die doppelte Anzahl an Abtastungen pro Zeiteinheit erfordert: Das menschliche Ohr nimmt Töne bis zu einer bestimmten maximalen Frequenz wahr, und die Cochlea desselben Ohrs tastet daher mit einer effektiven Rate ab, die nahezu der doppelten maximal wahrnehmbaren Frequenz entspricht. Wenn ein biologischer Sensor dieses Signal unterhalb der vom Nyquist-Theorem geforderten Schwelle abtastet, tritt Aliasing auf. Dabei wird eine hohe Frequenz des Signals fälschlicherweise als viel niedriger wahrgenommen, als sie tatsächlich ist.

Das Webersche Gesetz besagt, dass die Wahrnehmungsschwelle eines Sensors – die kleinste Differenz in der Reizintensität, die der Sensor noch unterscheiden kann – proportional zum Hintergrundpegel desselben Reizes ist. Dieses konstante Verhältnis zwischen Wahrnehmungsschwelle und Hintergrundpegel variiert jedoch je nach Sinnesmodalität, beispielsweise bei der Wahrnehmung von Helligkeit, Schallintensität, Gewicht in der Hand oder Geschmack im Mund. Dasselbe Webersche Gesetz bildet letztlich die empirische Grundlage für das logarithmische Weber-Fechner-Gesetz, welches ein weiteres Modell für diese Sinnessysteme etabliert. Daraus folgt, dass diese biologischen Sensoren optimal für Signale geeignet sind, die logarithmisch und nicht linear variieren. Die Tatsache, dass die Unterscheidungsschwelle eines biologischen Sensors gemäß dem Weber-Gesetz einen konstanten Bruchteil des Hintergrundpegels darstellt, bedeutet, dass derselbe Sensor sowohl ein schwaches als auch ein starkes Signal gleichermaßen gut unterscheiden kann, vorausgesetzt, beide variieren im gleichen Verhältnis zueinander. Die Cramér-Rao-Schranke legt die theoretische Untergrenze fest, die die Varianz eines erwartungstreuen statistischen Schätzers erreichen kann: Das Gehirn eines Organismus fungiert bei Konfrontation mit demselben Reiz aus dieser Umgebung als statistischer Schätzer, der unter kontrollierten Laborbedingungen die durch die Cramér-Rao-Schranke festgelegte optimale Grenze approximiert. Die Fisher-Information quantifiziert präzise, ​​wie viel von dieser Information über diesen Reiz – dieselbe Information, die bereits durch ein anderes Modell dieser Gruppe ermittelt wurde – in der vollständigen Verteilung der neuronalen Reaktionen enthalten ist, die dieser Reiz in diesem Organismus auslöst. Die Tatsache, dass die Verteilung dieser neuronalen Reaktionen mehr Fisher-Informationen über diesen Reiz enthält, bedeutet, dass dieses Gehirn gemäß der Cramér-Rao-Grenze diesen Reiz folglich mit einer noch geringeren Varianz schätzen kann.

Daher belegt dieses Modell mit seinem Rayleigh-Kriterium und der Cramér-Rao-Grenze, dass die räumliche Auflösung eines jeden Sensors – grundlegend für Sehen, Radar und biologisches Sonar – sowohl von der Entfernung zum beobachteten Objekt als auch von der Apertur und Wellenlänge des Sensors abhängt. Dies stimmt exakt mit Rayleighs Kriterium überein, das die Grundlage des Modells bildete: Eine Verbesserung der räumlichen Auflösung bei gleicher Entfernung erfordert entweder eine Vergrößerung der Sensorapertur, beispielsweise durch ein größeres Auge oder eine längere Antenne, oder eine Verringerung der verwendeten Wellenlänge. Das Facettenauge eines Insekts tauscht diese Winkelauflösung jedoch gegen ein deutlich größeres Sichtfeld ein und weist daher eine viel kleinere Apertur als ein vergleichbares Kameraauge auf – eine evolutionäre Lösung, die eine höhere Auflösung zugunsten eines viel größeren Sichtfelds opfert.

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